第三单元用python学习微积分（二十一）功、平均值、概率(上)

大大的周 02-07 881

本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-功、平均值、概率-网易公开课

开发环境准备：CSDN

一、平均值

1、例题

(1)? 求f(x) = c 的定积分在a，b的平均值

(2)?? 单位半圆上（半径为1）的平均高度

二、带权重的平均值

1、公式： ?

(1)? 解释

三、上一讲中女巫的坩埚问题：

四、概率

一、平均值

由之前学过课知道，对上图中曲线函数 f(x )积分即是求取求取在区间中 x 轴到曲线 f(x) 之间包围的面积。

所以当曲线被分为n ( ) 个长方形时,它的面积为约等于，而显然为所有分出的小矩形平均的高，而平均的高*底边长为图形面积。所以有，另一个看法是

把曲线下 a 到 b 间的图形分成n份，每份取一个f(x)值，而每份的底边长为 , ( )所以有

(连续平均值) = AVE( f ) (f(x)在 (a,b)区间的平均值)

1、例题 (1)? 求f(x) = c 的定积分在a，b的平均值

当然AVE(c) = c

(2)?? 单位半圆上（半径为1）的平均高度

from sympy import * import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(1, 1, 1) ax.spines['left'].set_position('zero') ax.spines['bottom'].set_position('zero') ax.spines['right'].set_color('none') ax.spines['top'].set_color('none') ax.xaxis.set_ticks_position('bottom') ax.yaxis.set_ticks_position('left') ax.set_aspect(1) def DrawXY(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt): yarr = [] xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) for xval in xarr: yval = expr.subs(x,xval) yarr.append(yval) y_nparr = np.array(yarr) plt.plot(xarr, y_nparr, c=color, label=label) def DrawInt(xFrom,xTo,steps,expr,color,plt, label=''): if(xFrom < 0 and xTo < 0): DrawIntNegative(xFrom,xTo,steps,expr,color,plt, label) else: if(xFrom > 0 and xTo > 0): DrawIntPostive(xFrom,xTo,steps,expr,color,plt, label) else: DrawIntNegative(xFrom,0,steps,expr,color,plt, label) DrawIntPostive(0,xTo,steps,expr,color,plt, label) def DrawIntNegative(xFrom1,xTo1,steps,expr,color,plt, label=''): xFrom = 0 - xTo1 xTo = 0 - xFrom1 width = (xTo - xFrom)/steps xarr = [] yarr = [] area = 0 xprev = xFrom yvalAll = 0 xarr.append(0) yarr.append(0) for step in range(steps): yval = expr.subs(x,xprev) area += width * yval xarr.append(0-xprev) yarr.append(0-area) xprev= xprev + width plt.plot(xarr, yarr, c=color, label =label) def DrawIntPostive(xFrom,xTo,steps,expr,color,plt, label=''): width = (xTo - xFrom)/steps xarr = [] yarr = [] area = 0 xprev = xFrom yvalAll = 0 xarr.append(0) yarr.append(0) for step in range(steps): yval = expr.subs(x,xprev) area += width * yval xarr.append(xprev) yarr.append(area) xprev= xprev + width plt.plot(xarr, yarr, c=color, label =label) def DrawRects(xFrom,xTo,steps,expr,color,plt, label=''): width = (xTo - xFrom)/steps xarrRect = [] yarrRect = [] area = 0 xprev = xFrom yvalAll = 0 for step in range(steps): yval = expr.subs(x,xprev + width) xarrRect.append(xprev) xarrRect.append(xprev) xarrRect.append(xprev + width) xarrRect.append(xprev + width) xarrRect.append(xprev) yarrRect.append(0) yarrRect.append(yval) yarrRect.append(yval) yarrRect.append(0) yarrRect.append(0) area += width * yval plt.plot(xarrRect, yarrRect, c=color) xprev= xprev + width yvalAll += yval print('============================') if len(label)!=0: print(label) print('============================') print('width = ', width) print('ave = ', yvalAll / steps) print('area = ',area) areaFinal = (integrate(expr, (x,xFrom,xTo))) print ('area final = ',areaFinal) print ('ave final = ', areaFinal / (xTo - xFrom)) def TangentLine(exprY,x0Val,xVal): diffExpr = diff(exprY) x1,y1,xo,yo = symbols('x1 y1 xo yo') expr = (y1-yo)/(x1-xo) - diffExpr.subs(x,x0Val) eq = expr.subs(xo,x0Val).subs(x1,xVal).subs(yo,exprY.subs(x,x0Val)) eq1 = Eq(eq,0) solveY = solve(eq1) return xVal,solveY def DrawTangentLine(exprY, x0Val,xVal1, xVal2, clr, txt): x1,y1 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal1) x2,y2 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal2) plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr, label=txt) def Newton(expr, x0): ret = x0 - expr.subs(x, x0)/ expr.diff().subs(x,x0) return ret x = symbols('x') expr = (1 - x**2)**0.5 DrawXY(-1,1,100,expr,'blue','y = (1-x^2)^0.5',plt) expr = -((1 - x**2)**0.5) DrawXY(-1,1,100,expr,'green','y = -(x^2-1)^0.5',plt) plt.legend(loc='lower right') plt.show()

图1

问题是求上图中蓝色的上半圆的平均 y 是多少？

带入公式：

这里注意是上图蓝色半圆的面积，

半径为1， S半圆

例3：求上图中蓝色半圆中弧上的点对应弧长的平均高度

图2

因为这个是个单位圆，所以我们知道半径为1，所以半圆的长度为 , 而弧长的变化等于弧度的变化

所以 ,这时如果把角度换到x轴，则面积等于而的平均值为

x = symbols('x') expr = sin(x) DrawXY(0,np.pi,100,expr,'blue','y = sin(x)',plt) plt.legend(loc='lower right') plt.show()

图3

由图3 可知这个图形平均的y值应该是小于半圆的，也就是说在图1 中，从半圆的弧上随机取一个点所对应的y值(y1)，比在x轴上随机取一个点所对应的y值（y2) ， y1<y2 的概率大于

检查

print(2/np.pi>= np.pi/4)

False

二、带权重的平均值 1、公式： (1)? 解释

首先是常数的带权重平均值

这个结果符合预期，毕竟常数的权重应该是一样的，所以带权重的常数的平均值还是常数

另，老师举了个例子，假如一个人先后以每股10刀 / 20刀/ 30刀买入某支股票，计算买入这支股票的平均购买价格的公式为（这里的这个权重就是数量）：

三、上一讲中女巫的坩埚问题：

这个锅是由一个抛物线旋转构成，顶部直径是2m, 高1m, 锅里装满水，共1600L，锅里面的水的初始温度为0摄氏度，当锅底100摄氏度时，锅的顶部温度为70摄氏度，并遵循公式 T = 100 - 30y ，问题时需要多少能量（能量=体积*温度<摄氏度>）来把锅底部加热到100摄氏度？

老师给的提示是，在锅里每一个平面（y=c）它的温度是个常数。

由于当锅的底部是100摄氏度，顶部是70摄氏度时，可以看出对于不同的高度，温度都不一样，所以只有用积分(圆盘法)来计算这个体积x温度

（上图代码请参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/479575377）

圆盘法体积：

老师的解法：

换元到x：

1块士力架大约250kcal ，所以大概需要500块士力架来加热这个坩埚

注意：温度是以y=？平面为常数，所以要对y做积分

计算坩埚底部加热到100摄氏度时的平均温度，这里需要考虑到水的体积的权重,

注意锅越靠近顶部面积越大（也就是权重越大）

四、概率 x = symbols('x') expr = 1-x**2 DrawXY(-1,1,100,expr,'blue','y = 1 - x^2',plt) DrawRects(0.5,1,100,expr,'b',plt, label='') plt.legend(loc='lower right') plt.show()

在区域 (上图蓝色曲线和 y=0 包围的部分) 随机取一个点 x,y), 求 P(x>0.5) ？（ｘ>0.5的概率是多少）？这个其实就是算上面蓝色实心面积和总包围面积的比 ......

概率 = 部分/总体 ( )

这里

老师的计算结果为 ,和我的不一样，python算下：

x = symbols('x') expr = 1-x**2 print(integrate(expr, (x,0.5,1))/integrate(expr, (x,-1,1))) print(5/32)

0.156250000000000

0.15625

我算的结果应该是对的....

求概率的一般公式：

下节课将介绍更多概率的问题，比如一个人打靶，靶子旁边有另一个人，那他有多大的概率会打到那个人....？