LQR控制算法的浅析_路在脚下，梦在心里_lqr控制算法

网络 02-07 8207

前言

一、知识点补充

? ? ? ? 1、拉格朗日乘子法

? ? ? ? 2、积分中值定理

? ? ? ? 3、向前欧拉法，向后欧拉法，中点欧拉法

????????4、向量的导数

? ? ? ? 5、矩阵求逆引理(记住就好，推导见链接)

二、连续时间下的LQR推导

? ? ? ? 1、系统状态方程

? ? ? ? 2、推导过程

????????3、例子-------手平衡小杆? ??

????????3.1、系统模型

????????3.2、simulink模型仿真

????????????????3.2.1、开环情况（k1=k2=0，初值设置为5）

? ? ? ? ? ? ? ? 3.2.2、闭环情况

? ? ? ? ? ? ? ? 仿真结果：

三、离散时间下的LQR推导（重要）

? ? ? ? 1、状态方程离散化

? ? ? ? 2、离散LQR的解法

总结

???

前言

这里的部分内容和之前的转载文章有相同的地方LQR控制算法及matlab/simulink仿真_陌路两立的博客-CSDN博客_lqr matlab，写这篇文章的目的是为了增强自己对LQR控制算法的理解。

一、知识点补充 ? ? ? ? 1、拉格朗日乘子法

? ? ? ? ? ? ? ? 假设需要求极值的目标函数为，约束条件为。设，定义一个新函数，则用偏导数方法列出方程：

? ? ? ? 2、积分中值定理

? ? ? ? ? ? ? ? 若函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使得下式成立：

其中，，满足：。

? ? ? ? 3、向前欧拉法，向后欧拉法，中点欧拉法

? ? ? ? ? ? ? ? 向前欧拉法：；

? ? ? ? ? ? ? ? 向后欧拉法：；

? ? ? ? ? ? ? ? 中点欧拉法：。

????????4、向量的导数

????????????????

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?参考：? ?向量的导数_影子飞扬的博客-CSDN博客_向量的导数

? ? ? ? 5、矩阵求逆引理(记住就好，推导见链接)

????????

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 参考：矩阵求逆引理(matrix inversion lemma)_UESTC_C2_403的博客-CSDN博客_矩阵求逆引理

二、连续时间下的LQR推导 ? ? ? ? 1、系统状态方程

? ? ? ? ? ? ? ? 开环：;

? ? ? ? ? ? ? ? 闭环：，设计，可以得到,通过改变可以改变的特征值从而控制系统表现。

? ? ? ? 2、推导过程

? ? ? ? ? ? ? ? 系统的状态发生变化的原因是在上一个状态时，有外界干扰或者系统的输入发生变化引起的，忽略外界干扰的影响，这里引入cost function(能量函数，损失函数)：

其中，Q和R均为自己设计的半正定矩阵。我们的目的就是通过设计Q和R使得能量函数最小。?

能量函数的理解：

????????? ? ? ? ? ?Q=,能量函数前面部分可以写成，当时，Q表现为惩罚；R越大，u对J的影响越大，希望J越小，可以使得u减小。

假设Q=，当?时，J将会变得非常大，对J有较大的影响，为了使得J减小，只能希望快速收敛。

? ? ? ? ? ? ? ? 将控制器?代入到能量函数中：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?????????????????为了找到,假设存在一个常量矩阵，使得

????????????????????????

? ? ? ? ? ? ? ? 随后得到：

???????????????????

?????

? ? ? ? ? ? ? ? 将代入到上式中得：

? ? ? ? ? ? ? ? 为了使上式恒成立，我们可以得到：

????????????????

? ? ? ? ? ? ? ? 通过令?，上式可以化简为：

该式就是著名的Riccati方程。其中??是系统矩阵已知，选取合适的?，可以解出?，从而得到，控制器。

注：k的由来

????????3、例子-------手平衡小杆? ?? ????????3.1、系统模型

???????????????下面是B站大佬DR_CAN对LQR控制算法的讲解（知识的搬运工）。

? ? ? ? ? ? ? ?运动学方程：

????????????????

其中：?表示杆子的长度，?表示重力加速度，?表示杆子与垂直方向的夹角，?表示手的移动。

? ? ? ? ? ? ? 通过令?? 可以得到：

? ? ? ? ? ? ? 令??得：

????????3.2、simulink模型仿真 ????????????????3.2.1、开环情况（k1=k2=0，初值设置为5）

? ? ? ? ? ? ? ? 3.2.2、闭环情况

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? LQR求k代码：? ? ? ? ? ??

%% 系统参数 A=[0 1;10 0]; B=[0;-1]; %% 大Q情况 Q=[100 0;0 1]; R=.01; K=lqr(A,B,Q,R); %% 大R情况 % Q=[1 0;0 1]; % R=100; % K=lqr(A,B,Q,R); %% 求解出来 k1=K(1,1); k2=K(1,2);

? ? ? ? ????????????????simulink模型：

?大R情况：k1=-20.000499987499590，k2=-6.325424884938331；

?大Q情况：k1=-1.104987562112088e+02，k2=-17.916403445513760；

? ? ? ? ? ? ? ? 仿真结果： ?

?????????????????结论：通过选取不同的Q和R可以得到不同的系统表现，其中大Q决定的是系统的状态能否快速达到收敛效果，大R决定的是系统的能耗(输入)。

参考：?1、视频链接：https://·/video/BV1RW411q7FDshare_source=copy_web

? ? ? ? ? ? 2、LQR控制算法及matlab/simulink仿真_陌路两立的博客-CSDN博客_lqr matlab

三、离散时间下的LQR推导（重要） ? ? ? ? 1、状态方程离散化

? ? ? ? ? ? ? ? 离散之后最重要的一个就是不可以使用微分方程描述系统了。

? ? ? ? ? ? ? ? 动力学方程：,对动力学方程两边同时求积分得：

其中，这里我们需要知道是?是 ?维的，?称为采样周期。

使用到的知识点：状态??去??使用的是中间欧拉法，控制输入??去??使用的是向前欧拉法(因为我们无法知道)。

? ? ? ? 2、离散LQR的解法

? ? ? ? ? ? ? ? step 1：和连续时间下的LQR相同，首先引入能量函数(cost function)：

? ? ? ? ? ? ? ? step 2：引入约束函数：

注：为什么cost function只有，却没有呢？

答：如果改为的话，可是约束函数只能覆盖，所以cost function只能为。

? ? ? ? ? ? ? ? step 3：拉格朗日乘子法求解cost function：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 首先将约束函数写为：

????????

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 然后构造新函数：? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ??

其中?。

注：注意这里的维度问题，?是维的。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 接下来对构造的函数求偏导：

? ? ? ? ? ? ? ? 首先对??求偏导：

????????????????

????????????????综上所述：

? ? ? ? ? ? ? ? 然后对??求导：

? ? ? ? ? ? ? ? 最后对求导：

????????????????

? ? ? ? ? ? ? ? 综上所述：

其中，。

? ? ? ? ? ? ? ? step 4：递推式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当?时：

通过对比?和可以推出：

其中?(Riccati方程)。

可以得到：

其中??认为已知。

LQR控制实际为：

首先，取矩阵??初值为，然后，代入离散时间下的Riccati方程?中迭代，求出矩阵??(一般只需要迭代几十次，?就会收敛），最后，将??代入到??中得到?。

总结

这里是我自己学LQR控制算法的推导过程，数学原理很大，总结起来就是，通过选取Q和R，然后将A，B，Q，R代入LQR控制算法中（A，B是系统的状态矩阵，认为是已知的），从而得到K，然后将K代入到反馈控制输入?中，从而得到控制输入，其中Q决定的是收敛速度，R决定的是能耗。因此，我们需要通过选择合适的Q和R使得cost function达到最优。欢迎大家来讨论指正（我的QQ1012154405），一起在控制的海洋中前进！！！